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Cours suites numériques
I – Généralités
Une suite numérique est une application de N dans R.
• Suite bornée
Une suite (Un) est majorée s'il existe un réel A tel que, pour tout n, Un ≤ A. On dit que A est un majorant de la suite.
Une suite (Un) est minorée s'il existe un réel B tel que, pour tout n, B ≤ un. On dit
que B est un minorant de la suite.
Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il
existe M tel que |Un| ≤ M pour tout n.
• Suite convergente
La suite (Un) est convergente vers l ∈ R si :
∀ε>0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 |un−l| ≤ ε.
Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique.
La suppression d'un nombre fini de termes ne modifie pas la nature de la suite, ni sa limite éventuelle.
Toute suite convergente est bornée. Une suite non bornée ne peut donc pas être convergente.
• Limites infinies
On dit que la suite (un) diverge
Vers +∞ si : ∀A>0 ∃n0∈N ∀n ≥ n0 Un≥A
Vers −∞ si : ∀A>0 ∃n0∈N ∀n≤ n0 Un≤A.
• Limites connues
Pour k>1, α>0, β>0
II Opérations sur les suites
• Opérations algébriques
Si (un) et (vn) convergent vers l et l’, alors les suites (un+vn), (λun) et (unvn) convergent respectivement vers l + l’, ll et ll’.
Si (un) tend vers 0 et si (vn) est bornée, alors la suite (unvn) tend vers 0.
• Relation d'ordre
Si (un) et (vn) sont des suites convergentes telles que l'on ait un ≤ vn pour n≥n0,
alors on a :
Attention, pas de théorème analogue pour les inégalités strictes.
• Théorème d'encadrement
Si, à partir d'un certain rang, un ≤xn≤ vn et si (un) et (vn) convergent vers la
même limite l, alors la suite (xn) est convergente vers l.
III Suites monotones
• Définitions
La suite (un) est croissante si un+1≥un pour tout n;
décroissante si un+1≤un pour tout n;
stationnaire si un+1=un pour tout n.
• Convergence
Toute suite de réels croissante et majorée est convergente.
Toute suite de réels décroissante et minorée est convergente.
Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +∞.
• Suites adjacentes
Les suites (un) et (vn) sont adjacentes si :
(un) est croissante ; (vn) est décroissante ;
Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite.
Si (un) croissante, (vn) décroissante et un≤vn pour tout n, alors elles convergent vers
l1 et l2. Il reste à montrer que l1=l2 pour qu'elles soient adjacentes.
IV Suites extraites
• Définition et propriétés
– La suite (vn) est dite extraite de la suite (un) s'il existe une application φ de N
dans N, strictement croissante, telle que vn=uφ(n).
On dit aussi que (vn) est une sous-suite de (un).
– Si (un) converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l.
Si des suites extraites de (un) convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure que (un) converge vers l si tout un est un terme d'une des suites extraites étudiées.
Par exemple, si (u2n) et (u2n+1) convergent vers l, alors (un) converge vers l.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite de réels bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
V Suites de Cauchy
• Définition
Une suite (un) est de Cauchy si, pour tout ε positif, il existe un entier naturel n0 pour lequel, quels que soient les entiers p et q supérieurs ou égaux à n0, on ait |up−uq|<ε.
Attention, p et q ne sont pas liés.
• Propriété
Une suite de réels, ou de complexes, converge si, et seulement si, elle est de
Cauchy
SUITES PARTICULIERES
I Suites arithmétiques et géométriques
• Suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique de raison r si :
∀ n∈N un+1=un+r
Terme général : un =u0+nr.
Somme des n premiers termes :
• Suites géométriques
Une suite (un) est géométrique de raison q≠0 si :
∀ n∈N un+1=qun.
Terme général : un=u0qn
Somme des n premiers termes :
II Suites récurrentes
• Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 :
– Une telle suite est déterminée par une relation du type :
(1) ∀ n∈N aUn+2+bUn+1+cUn =0 avec a≠0 et c≠0
et la connaissance des deux premiers termes u0 et u1.
L'ensemble des suites réelles qui vérifient la relation (1) est un espace vectoriel
de dimension 2.
On en cherche une base par la résolution de l'équation caractéristique :
ar2+br+c=0 (E)
– Cas a, b, c complexes
Si ∆≠0,(E) a deux racines distinctes r1et r2. Toute suite vérifiant (1) est alors
du type :
où K1 et K2 sont des constantes que l'on exprime ensuite en fonction de u0 et u1.
Si ∆=0, (E) a une racine double r0=(-b)/2a. Toute suite vérifiant (1) est alors du
type :
– Cas a, b, c réels
Si ∆>0ou ∆=0, la forme des solutions n'est pas modifiée.
Si ∆<0, (E)a deux racines complexes conjuguées r1=α+iβ et r2=α−iβ
que l'on écrit sous forme trigonométrique r1=ρeiθ et r2=ρe-iθ
Toute suite vérifiant (1) est alors du type :
• Suites récurrentes un+1=f(un)
– Pour étudier une telle suite, on détermine d'abord un intervalle I contenant toutes
les valeurs de la suite.
– Limite éventuelle
Si (un) converge vers l et si f est continue en l, alors f(l)=l.
– Cas f croissante
Si f est croissante sur I, alors la suite (un) est monotone.
La comparaison de u0 et de u1 permet de savoir si elle est croissante ou décroissante.
– Cas f décroissante
Si f est décroissante sur I, alors les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones et de
sens contraire
Fait par LEON
